Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.2.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun à $- x + 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4.5

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.5.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.5.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.5.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x - 1)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.10.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.10.4

Associez $- 2$ et $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.7

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.11.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Étape 2.11.10

Multipliez $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.4.5.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.2.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.2.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 4.1.5.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun à $- x + 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4.5

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.1.5.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.4.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.1.5.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.1.5.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 (2 (0) + 1)}{{((0) - 1)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0 - 1)}^{4}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - 1)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{4}}$

Étape 9.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 9.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Étape 11.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

Étape 13