Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{- 2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (- 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} - 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $- 7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.1.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (- 7 x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = - 7 x$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 7 x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Additionnez $1 + 7 \sin (- 7 x)$ et $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $1 + 7 \sin (- 7 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 1 + 7 \sin (- 7 x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 2} (1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

Étape 3.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 lim_{x \to 0} \sin (- 7 x))$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (lim_{x \to 0} - 7 x))$

Étape 3.5

Placez le terme $- 7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 lim_{x \to 0} x))$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (0))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \cdot 0)$

Étape 5.2.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 + 0)$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$