Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 1.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 1.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 1.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C$