Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{8 θ}$ et $\sin (9 θ)$ .

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (9 θ)$ et $d v = e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8} \cdot 9$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{8} \cdot 9$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Étape 4.2

Associez $\sin (9 θ)$ et $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{8 θ}$ et $\cos (9 θ)$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (9 θ)$ et $d v = e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8} \cdot - 9$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\frac{1}{8} \cdot - 9$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Étape 7.2

Associez $\cos (9 θ)$ et $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ par $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Étape 7.6.3

Multipliez $\frac{9}{8}$ par $1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{- 9}{8}$ par $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Étape 7.8

Multipliez.

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Étape 7.8.1

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Étape 7.8.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Étape 8

En résolvant $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ , nous trouvons que $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1.1

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Étape 9.1.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.2

Réécrivez $(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ comme $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $\sin (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.3.2

Associez $\frac{\sin (9 θ)}{8}$ et $e^{8 θ}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.3.3

Associez $\cos (9 θ)$ et $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.3.4

Associez $e^{8 θ}$ et $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.3.5

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.4

Simplifiez

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Étape 9.1.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.4.2.1

Réécrivez.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.4.2.2

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.4.2.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.1.4.3

Déplacez $9$ à gauche de $e^{8 θ}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ comme $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Étape 9.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$