Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$ comme ${(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x^{2}$ et $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez.

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Étape 4.8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.5

Déplacez $2$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (x - 4) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.9

Associez les fractions.

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Étape 4.8.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 4.8.9.3

Multipliez $\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 4.8.9.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 \cdot {(x - 4)}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} {(\frac{x - 4}{1 + x^{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 4}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6

Associez des termes.

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Étape 4.9.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.7

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.8

Multipliez $\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}}$ par $\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8 x - 1) {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.9

Placez ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10

Multipliez ${(x - 4)}^{2}$ par ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.6.10.1

Déplacez ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 ({(x - 4)}^{- \frac{2}{3}} {(x - 4)}^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.6.10.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.6.10.6.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$