Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4 x}{x^{3}} d x$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} d x + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 3.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 8 x$ .

$u_{lower} = 8 \cdot - 2$

Étape 3.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$u_{lower} = - 16$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 8 x$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 2$

Étape 3.5

Multipliez $8$ par $2$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 16$

$u_{upper} = 16$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} \frac{1}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 4

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int_{- 16}^{16} \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $16$ et sur $- 16$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

Étape 11.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $16^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 11.3.2

Associez ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{{(- 16)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 11.3.3

Déplacez $3$ à gauche de ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 11.3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 11.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2})$

Étape 11.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 11.3.7

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- 2 (\frac{1}{2}))$

Étape 11.3.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 2}{2})$

Étape 11.3.9

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 11.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 11.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 11.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 1}{1})$

Étape 11.3.9.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \cdot - 1$

Étape 11.3.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Étape 12.2

Associez.

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4})$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - 4$

Étape 12.3.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Étape 12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Étape 12.4.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Forme décimale :

$- 4$

Étape 14