Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3

Multipliez $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ par $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 13

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 13.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 14

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Étape 17

Simplifiez

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Associez $2$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Étape 19.2

Associez $\sin (\frac{2 x}{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Étape 20.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Étape 20.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Étape 21

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$