Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $- 1 (\frac{2}{3})$ comme $- (\frac{2}{3})$ .

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

Étape 1.1.2

Associez $k$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

Étape 1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $k$ .

$- \frac{2 k}{3} - 1$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $- \frac{2}{3}$ dans l’addition.

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

Étape 3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Étape 3.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 24$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$- 24$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 1) (8)$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$- 24 - 8$

Étape 6

Soustrayez $8$ de $- 24$ .

$- 32$