Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5} \sin (x)$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (x^{5} \sin (x))$ comme $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.3.3

Associez $5$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

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Étape 3.2.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.4.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 3.2.4.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Étape 3.2.5.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ .

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$