Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Étape 3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Étape 5

Laissez $u = 5 t$ . Alors $d u = 5 d t$ , donc $\frac{1}{5} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 5.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Étape 8.3

Multipliez $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $e^{t}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Étape 10.2

Évaluez $e^{u}$ sur $5$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Simplifiez

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Étape 10.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Étape 10.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Étape 10.3.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Étape 10.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Étape 10.3.6

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e + e^{5} - 2$

Forme décimale :

$149.13144093 \dots$

Étape 12