Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 \int u^{- 2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$10 (- u^{- 1} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $10 (- u^{- 1} + C)$ comme $10 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \frac{1}{u} + C$

Étape 5.2.2

Associez $- 10$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 10}{u} + C$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$- \frac{10}{1 + x} + C$