Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Étape 3.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Étape 6

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Étape 7.1.2

Évaluez $e^{y}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Étape 7.1.3

Simplifiez

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Étape 7.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Étape 7.3.3

Divisez $3$ par $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Forme décimale :

$19.56447967 \dots$

Étape 9