Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Étape 4

Développez $(x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.5

Simplifiez

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int x + 2 - 4 x^{- 2} d x$

Étape 4.10

Déplacez $2$ .

$\int x - 4 x^{- 2} + 2 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$