Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u^{5}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Étape 5.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $u^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 5}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ comme $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Étape 9.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 9.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Étape 9.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Étape 9.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Étape 9.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$