Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.1.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.3.9

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.3.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.3.11

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.3.12

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$