Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.6.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 1.10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Étape 1.10.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 1.10.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 1.10.4

Associez $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.4

Associez $\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.12

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.4

Associez $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19

Pour écrire ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.20

Associez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.23

Simplifiez ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.24

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.26

Multipliez $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.27

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.27.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 2.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 2.27.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.28

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.29

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.2

Multipliez $4 (3 \cdot - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 48$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.6.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 4.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.1.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 4.1.10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Étape 4.1.10.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 4.1.10.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 4.1.10.4

Associez $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Ajoutez $108$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x^{2} = 108$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 108$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 108$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $108$ par $27$ .

$x^{2} = 4$

Étape 6.3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 6.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.3

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 48$ .

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

Étape 13.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Étape 13.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.4

La réponse finale est $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5.2.2.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5.2.3

La réponse finale est $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 2$ , $x = - 2$ est un minimum local.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - 2$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 15