Calcul infinitésimal Exemples

$x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1))$

Étape 2.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

Étape 2.14

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

Étape 2.15

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$1 + 3 \frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3}$

Étape 2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.17

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.18

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.20

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.23

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.23.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.23.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.23.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$