Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{2} + 3} - 2$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x^{2} + 3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 3}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 3}$ comme ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.11

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.13

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.14

Associez $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.15

Placez ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.16

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.17

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 3.2

Additionnez $\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$