Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} (x + 47)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} (x + 47)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 47$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3

Comme $47$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $47$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Étape 1.4.4.6

Multipliez $2$ par $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Étape 1.4.4.7

Multipliez $94$ par $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Étape 1.4.4.8

Additionnez $5 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{2} + 470 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $470$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $470 x$ par rapport à $x$ est $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $470$ par $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x + 470$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Étape 3.2.3

Multipliez $30$ par $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $470$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $470$ par rapport à $x$ est $0$ .

$30 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $30$ et $0$ .

$f''' (x) = 30$