Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (y) + \frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $\frac{y'}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $\frac{y'}{y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $2021$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2021$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y y' - x y' + y = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y y' - x y' = - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $y y' - x y'$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y y'$ .

$y' y - x y' = - y$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - y$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - y$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $y' (y - x) = - y$ par $y - x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (y - x) = - y$ par $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y - x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$