Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{3}{20}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{20} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{20}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{15}{20}$ et $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $20$ .

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Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.5

Associez $\frac{12}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 1.1.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.4

Divisez $3 x^{3}$ par $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 (2 x)$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 48 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $48 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 3 x (16) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x)$ .

$3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16)$ .

$3 x (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$3 x {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = 3 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 24 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 96 + 48 (- 2)$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $48$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 24 - 96 - 96$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $96$ de $- 24$ .

$f'' (- 2) = - 120 - 96$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $96$ de $- 120$ .

$f'' (- 2) = - 216$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 216$ .

$- 216$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 3 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = 3 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (2) = 24 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 24 - 24 \cdot 4 + 48 (2)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (2) = 24 - 96 + 48 (2)$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $48$ par $2$ .

$f'' (2) = 24 - 96 + 96$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $96$ de $24$ .

$f'' (2) = - 72 + 96$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 72$ et $96$ .

$f'' (2) = 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 4)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 3 {(6)}^{3} - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = 3 \cdot 216 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $216$ .

$f'' (6) = 648 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = 648 - 24 \cdot 36 + 48 (6)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $36$ .

$f'' (6) = 648 - 864 + 48 (6)$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $48$ par $6$ .

$f'' (6) = 648 - 864 + 288$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $864$ de $648$ .

$f'' (6) = - 216 + 288$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 216$ et $288$ .

$f'' (6) = 72$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $72$ .

$72$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8