Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x (x^{3} - 1)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{3} - 1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

Étape 8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{3} - 1$ par $1$ .

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

Étape 8.2

Additionnez $3 x^{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (4 x^{3} - 1)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 x^{3} - 3$