Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x^{- 4}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.5

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{3}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{10} x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.3

Associez $6$ et $\frac{3}{10}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{6 \cdot 3}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.4

Multipliez $6$ par $3$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{18}{10}$ et $x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $18$ et $10$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Étape 1.4.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2}{2} x$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2 x}{2}$

Étape 1.4.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2}$

Étape 1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Étape 1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- x}{1}$

Étape 1.4.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - x$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{9}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.3

Associez $5$ et $\frac{9}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{45}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $45$ et $5$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x^{4}$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $9 x^{4}$ par $1$ .

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Étape 2.5.9

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Étape 2.5.10

Multipliez $4$ par $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Étape 2.5.11

Associez $\frac{12}{2}$ et $x^{- 5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Étape 2.5.12

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Étape 2.5.13

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.5.13.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Étape 2.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Étape 2.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Étape 2.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{5}}$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{6}{x^{5}} - 1$