Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{5} + 5 x^{4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{4} + 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$- 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 20 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 20 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$- 20 x^{2} x + 60 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 20 x^{2}$ à partir de $60 x^{2}$ .

$- 20 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 20 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{2} (x) - 20 x^{2} (- 3)$ .

$- 20 x^{2} (x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 20 x^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = - 20 \cdot - 8 + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = 160 + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 160 + 60 \cdot 4$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $60$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 160 + 240$

Étape 4.2.2

Additionnez $160$ et $240$ .

$f'' (- 2) = 400$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $400$ .

$400$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - 20 {(2)}^{3} + 60 {(2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = - 20 \cdot 8 + 60 {(2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$f'' (2) = - 160 + 60 {(2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - 160 + 60 \cdot 4$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $60$ par $4$ .

$f'' (2) = - 160 + 240$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 160$ et $240$ .

$f'' (2) = 80$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = - 20 {(6)}^{3} + 60 {(6)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = - 20 \cdot 216 + 60 {(6)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $216$ .

$f'' (6) = - 4320 + 60 {(6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = - 4320 + 60 \cdot 36$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $60$ par $36$ .

$f'' (6) = - 4320 + 2160$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 4320$ et $2160$ .

$f'' (6) = - 2160$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 2160$ .

$- 2160$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8