Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $arcsec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (2 x)$ et $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Étape 3.4.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.7.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Étape 3.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Étape 3.4.7.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Étape 3.4.8

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Étape 3.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Étape 3.4.9

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Étape 3.4.10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Étape 3.4.11

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12

Multipliez.

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Étape 3.4.12.1

Associez.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.12.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Étape 3.4.12.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Étape 3.4.13

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Étape 3.4.14

Réécrivez $- 1 \cdot (2 i)$ comme $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Étape 3.4.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Étape 3.4.16

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$