Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{x^{2} + 8 x + 6} d x$

Étape 1

Complétez le carré.

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 6$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 1.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 6 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 6 - \frac{64}{4}$

Étape 1.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 6 - 1 \cdot 16$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 6 - 16$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $16$ de $6$ .

$e = - 10$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 4)}^{2} - 10$ .

$\int \sqrt{{(x + 4)}^{2} - 10} d x$

Étape 2

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 10} d u$

Étape 3

Laissez $u = \sqrt{10} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = \sqrt{10} \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10}$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{10} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{10}}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{10^{1} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.2

Factorisez $10$ à partir de $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t)) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.3

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.4

Factorisez $10$ à partir de $10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t) - 1)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{10 \tan^{2} (t)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.6

Remettez dans l’ordre $10$ et $\tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Étape 4.2.2

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Étape 4.2.5

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) \sec (t) d t$

Étape 4.2.6

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) \sec (t) d t$

Étape 4.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Étape 4.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{2} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 4.2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \tan^{2} (t) {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{1} \sec (t) d t$

Étape 4.2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10 \sec (t) d t$

Étape 4.2.10

Déplacez $10$ à gauche de $\tan^{2} (t)$ .

$\int 10 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 5

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 6

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$10 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$10 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

$10 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$10 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 11

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 12

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Étape 13

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 14

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 15

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 17

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 17.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 18

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 19

Simplifiez en multipliant.

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Étape 19.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 19.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 19.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 20

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 21

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 23

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 24

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 26

Additionnez $2$ et $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 27

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 28

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 29

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 30

Simplifiez en multipliant.

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Étape 30.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 30.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 31

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 32

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 33

Simplifiez

$10 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 34

Simplifiez

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Étape 34.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 34.2

Additionnez $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ et $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 34.3

Associez $10$ et $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Étape 34.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 34.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ .

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Étape 34.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 34.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Étape 34.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Étape 34.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Étape 34.4.2.4

Divisez $5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ par $1$ .

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 35

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 35.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Étape 35.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Étape 36

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$