Calcul infinitésimal Exemples

$y = 9^{1 - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9^{1 - x^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 9^{x}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [9^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $9$ .

$9^{u} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- (2 x))$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réorganisez les facteurs de $9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$

Étape 3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$ .

$- 2 x \cdot 9^{1 - x^{2}} \ln (9)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$