Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{3 x - 12}{4 - x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} x}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 4} x}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{3 x - 12}{4 - x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{\frac{d}{d x} [4 - x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{0 - 1}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{3}{- 1}$

Étape 1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$lim_{x \to 4} - 1 \cdot 3$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $- 1 \cdot 3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$