Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

Étape 1.1.4.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

Étape 1.1.4.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

Étape 1.1.4.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

Étape 1.1.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Étape 1.1.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

Étape 1.1.4.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ est $(- 1, \frac{3}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, \frac{3}{4})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $6.6$ de $3.63$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 2.97$ et $3$ .

$f'' (- 1.1) = 0.03$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.03$ .

$0.03$

Étape 5.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $0.03$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.9$ dans l’expression.

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $5.4$ de $2.43$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 2.97$ et $3$ .

$f'' (- 0.9) = 0.03$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.03$ .

$0.03$

Étape 6.3

Sur $- 0.9$ , la dérivée seconde est $0.03$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Aucun point du graphe ne respecte ces exigences.

Aucun point d’inflexion