Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.2.1.1

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - 8} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.2.1.1

Soustrayez $8$ de $24$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{12 - x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{12 - x}$ comme ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 12 - x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.15

Associez $\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1 \cdot {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.17

Réécrivez $- 1 {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.18

Placez ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{24 - x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{24 - x}$ comme ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(24 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 24 - x$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.4

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.15

Associez $\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1 \cdot {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.17

Réécrivez $- 1 {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.18

Placez ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.7.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.5.1

Réécrivez ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{12 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.5.2

Réécrivez ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 \sqrt{24 - x}))$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- 2 \sqrt{24 - x})$

Étape 1.6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 8} 2 \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Étape 1.6.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2 \sqrt{12 - x}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Étape 1.6.4

Associez $\frac{2}{2 \sqrt{12 - x}}$ et $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Étape 1.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{24 - x}}{\sqrt{12 - x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - 8}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\sqrt{24 - 8}$ et $\sqrt{12 - 8}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{24 - 8}{12 - 8}}$

Étape 4.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$\sqrt{\frac{16}{12 - 8}}$

Étape 4.3

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\sqrt{\frac{16}{4}}$

Étape 4.4

Divisez $16$ par $4$ .

$\sqrt{4}$

Étape 4.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$