Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Alors $d u = (2 x + 2) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$2 x + 2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Étape 1.3.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Étape 1.5.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Étape 7.4

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$\frac{\ln (0)}{2}$

Étape 8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini