Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 x^{3}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $3 x^{3}$ comme $x^{2} \cdot (3 x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Étape 7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 8

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 14

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 15

Associez $3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 16

Multipliez $3^{\frac{1}{2}}$ par $3$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1

Déplacez $3$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 16.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$