Calcul infinitésimal Exemples

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arctanh (x)$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $arctanh (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 x$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Étape 3.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Étape 3.1.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Étape 3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Étape 3.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Étape 3.1.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Étape 3.1.3.7

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Étape 3.1.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$