Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x (3 x + 2) (4 x - 1) d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int (x (3 x + 2)) (4 x - 1) d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x - 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 4 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

$4$

$4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) u \frac{1}{4} d u$

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) u \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $\frac{1}{4}$ et $u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2) + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.9

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.10

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.11

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.12

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{4}$ et $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.13

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{4}$ et $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.14

Remettez dans l’ordre $\frac{u}{4}$ et $2$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.15

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.16

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Étape 4.17

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} d u$

Étape 4.18

Associez $3$ et $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.19

Multipliez $\frac{3 u}{4}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.21

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{3 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.24

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.25

Multipliez $\frac{3 u^{2}}{16}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{2} u}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.26

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{2} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.27

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{3 u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.28

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.29

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.30

Associez $3$ et $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4} \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.31

Multipliez $\frac{3 u}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.32

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.33

Multipliez $\frac{3 u}{16}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.34

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.35

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.37

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.38

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.39

Associez $2$ et $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u}{4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.40

Multipliez $\frac{2 u}{4}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u \cdot u}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.41

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.42

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.43

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.44

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.45

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{16} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.46

Pour écrire $\frac{2 u^{2}}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{16} \cdot \frac{4}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.47

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.47.1

Multipliez $\frac{2 u^{2}}{16}$ par $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.47.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.48

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.49

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.50

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.51

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.52

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.53

Multipliez $\frac{3 u}{16}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.54

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.55

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.56

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.57

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.58

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.59

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.60

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.61

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{16} \cdot \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.62

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{16 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.63

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Étape 4.64

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Étape 4.65

Multipliez $\frac{2}{4}$ par $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{4 \cdot 4} d u$

Étape 4.66

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{16} d u$

Étape 4.67

Pour écrire $\frac{2 u}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{16} \cdot \frac{4}{4} d u$

Étape 4.68

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.68.1

Multipliez $\frac{2 u}{16}$ par $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{16 \cdot 4} d u$

Étape 4.68.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{64} d u$

Étape 4.69

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Étape 4.70

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2} + 3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Étape 4.71

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 3 u^{2} + 3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Étape 4.72

Remettez dans l’ordre $3 u$ et $2 u \cdot 4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 3 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Étape 4.73

Déplacez $2 u^{2} \cdot 4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Étape 4.74

Additionnez $3 u^{2}$ et $3 u^{2}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 8 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Étape 5.2

Additionnez $6 u^{2}$ et $8 u^{2}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 8 u + 3 u}{64} d u$

Étape 5.4

Additionnez $8 u$ et $3 u$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u}{64} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{64}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{64}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{64} \int 3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u d u)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{64}$ et $3$ .

$\frac{3}{64} \int 3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{3}{64} (\int 3 u^{3} d u + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{64} (3 \int u^{3} d u + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Étape 11

Comme $14$ est constant par rapport à $u$ , placez $14$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 \int u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 11 u d u)$

Étape 13

Comme $11$ est constant par rapport à $u$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 \int u d u)$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{3}{64} (\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{14 u^{3}}{3} + \frac{11 u^{2}}{2}) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$\frac{3}{64} (\frac{3 {(4 x - 1)}^{4}}{4} + \frac{14 {(4 x - 1)}^{3}}{3} + \frac{11 {(4 x - 1)}^{2}}{2}) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{64} (\frac{3}{4} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{14}{3} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{11}{2} {(4 x - 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$