Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{5})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 6 x^{3} - 6$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{(6 x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{(6 x^{3} - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $6 x^{3} - 6$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 \cdot (6 x^{3} - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{3} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $3$ par $6$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2} + 0)}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.8.1

Additionnez $18 x^{2}$ et $0$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.3.8.2

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{2} x^{2}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 (x^{2} x^{2})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{2 + 2}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

Étape 3.5

Associez $\frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$ et $5$ .

$\frac{(2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}) \cdot 5}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4}$

Étape 3.6

Déplacez $5$ à gauche de $2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot (2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4}$

Étape 3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ .

$\frac{5 (2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 ((2 (6 x^{3}) + 2 \cdot - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 (6 x^{3}) x + 2 \cdot - 6 x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (2 (6 x^{3}) x) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{5 (12 x^{3} x) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (12 (x^{1} x^{3})) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 (12 x^{1 + 3}) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{5 (12 x^{4}) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.5

Multipliez $12$ par $5$ .

$\frac{60 x^{4} + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.6

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{60 x^{4} + 5 (- 12 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.7

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$\frac{60 x^{4} - 60 x + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.8

Multipliez $- 18$ par $5$ .

$\frac{60 x^{4} - 60 x - 90 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.9

Soustrayez $90 x^{4}$ de $60 x^{4}$ .

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{2 \cdot 4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.10.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.11

Multipliez $\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$ par $\frac{x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$ .

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2} {(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.7.5.12

Multipliez ${(6 x^{3} - 6)}^{2}$ par ${(6 x^{3} - 6)}^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.5.12.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2 + 4}}$

Étape 3.7.5.12.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{8} (- 30 x^{4} - 60 x)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.7.1

Factorisez $30 x$ à partir de $- 30 x^{4} - 60 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.7.1.1

Factorisez $30 x$ à partir de $- 30 x^{4}$ .

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3}) - 60 x)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7.1.2

Factorisez $30 x$ à partir de $- 60 x$ .

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3}) + 30 x (- 2))}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7.1.3

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (- x^{3}) + 30 x (- 2)$ .

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3} - 2))}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

$\frac{x^{8} \cdot 30 x (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 (x^{8} x^{1}) (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 x^{8 + 1} (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.7.2.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{3} - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3}) - 6)}^{6}}$

Étape 3.7.8.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3}) + 6 (- 1))}^{6}}$

Étape 3.7.8.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{3}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3} - 1))}^{6}}$

Étape 3.7.8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3} - 1^{3}))}^{6}}$

Étape 3.7.8.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})))}^{6}}$

Étape 3.7.8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})))}^{6}}$

Étape 3.7.8.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)))}^{6}}$

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{6}}$

Étape 3.7.8.5

Appliquez la règle de produit à $6 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x - 1))}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x + 6 \cdot - 1)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x - 6)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.8

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{({(6 x)}^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.9.1

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(6^{6} x^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.2

Élevez $6$ à la puissance $6$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.3

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6 (6^{5} x^{5}) \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.4

Multipliez $6$ par $6^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.9.4.1

Déplacez $6^{5}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5} \cdot 6 x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.4.2

Multipliez $6^{5}$ par $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.9.4.2.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5} \cdot 6^{1} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5 + 1} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.4.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{6} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.5

Élevez $6$ à la puissance $6$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 46656 x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.6

Multipliez $- 6$ par $46656$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.7

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 (6^{4} x^{4}) {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.8

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 (1296 x^{4}) {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.9

Multipliez $1296$ par $15$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 19440 x^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.10

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 19440 x^{4} \cdot 36 + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.11

Multipliez $36$ par $19440$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.12

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 (6^{3} x^{3}) {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 (216 x^{3}) {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.14

Multipliez $216$ par $20$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 4320 x^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.15

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 4320 x^{3} \cdot - 216 + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.16

Multipliez $- 216$ par $4320$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.17

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 (6^{2} x^{2}) {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.18

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 (36 x^{2}) {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.19

Multipliez $36$ par $15$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 540 x^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.20

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 540 x^{2} \cdot 1296 + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.21

Multipliez $1296$ par $540$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.22

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 36 x {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.23

Élevez $- 6$ à la puissance $5$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 36 x \cdot - 7776 + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.24

Multipliez $- 7776$ par $36$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.9.25

Élevez $- 6$ à la puissance $6$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10

Factorisez $46656$ à partir de $46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.8.10.1

Factorisez $46656$ à partir de $46656 x^{6}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.2

Factorisez $46656$ à partir de $- 279936 x^{5}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.3

Factorisez $46656$ à partir de $699840 x^{4}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.4

Factorisez $46656$ à partir de $- 933120 x^{3}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.5

Factorisez $46656$ à partir de $699840 x^{2}$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.6

Factorisez $46656$ à partir de $- 279936 x$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.7

Factorisez $46656$ à partir de $46656$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.8

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5})$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.9

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6} - 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4})$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.10

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3})$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.11

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2})$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.12

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2}) + 46656 (- 6 x)$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.10.13

Factorisez $46656$ à partir de $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x) + 46656 (1)$ .

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.8.11

Factorisez $x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1$ en utilisant le théorème du binôme.

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.9

Annulez le facteur commun à $30$ et $46656$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.9.1

Factorisez $6$ à partir de $30 x^{9} (- x^{3} - 2)$ .

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.9.2.1

Factorisez $6$ à partir de $46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}$ .

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{6 (7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6})}$

Étape 3.7.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{6 (7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6})}$

Étape 3.7.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{9} (- x^{3} - 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3}) - 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.11

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3}) - 1 (2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3} + 2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.13

Réécrivez $- (x^{3} + 2)$ comme $- 1 (x^{3} + 2)$ .

$\frac{5 x^{9} (- 1 (x^{3} + 2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 x^{9}) (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 3.7.15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(5 x^{9}) (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$ .

$- \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$