Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.5

Associez $\frac{- 6}{6}$ et $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.2.6.2.4

Divisez $- x^{5}$ par $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $- \frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} (4 x^{3})$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - 4 (\frac{5}{3}) x^{3}$

Étape 1.1.4.4

Associez $- 4$ et $\frac{5}{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3}$

Étape 1.1.4.5

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20}{3} x^{3}$

Étape 1.1.4.6

Associez $\frac{- 20}{3}$ et $x^{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20 x^{3}}{3}$

Étape 1.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Comme $- \frac{20}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Étape 1.2.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{20}{3}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Étape 1.2.4.5

Multipliez $- 3$ par $20$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Étape 1.2.4.6

Associez $\frac{- 60}{3}$ et $x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Étape 1.2.4.7

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 60 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Étape 1.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Étape 1.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Étape 1.2.4.7.2.4

Divisez $- 20 x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 20 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (4 x)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{5}{3})$

Étape 3.1.2.1.6.2

Multipliez $0$ par $\frac{5}{3}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{6} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$f (- 2) = \frac{- 1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = \frac{- 1}{3} \cdot 32 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.3

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.8

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot 16$

Étape 3.3.2.1.9

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.9.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - 16 (\frac{5}{3})$

Étape 3.3.2.1.9.2

Associez $- 16$ et $\frac{5}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 16 \cdot 5}{3}$

Étape 3.3.2.1.9.3

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 80}{3}$

Étape 3.3.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{80}{3}$

Étape 3.3.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = 32 + \frac{- 32 - 80}{3}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.2.1

Soustrayez $80$ de $- 32$ .

$f (- 2) = 32 + \frac{- 112}{3}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = 32 - \frac{112}{3}$

Étape 3.3.2.3

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = 32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{112}{3}$

Étape 3.3.2.4

Associez $32$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{112}{3}$

Étape 3.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3 - 112}{3}$

Étape 3.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{96 - 112}{3}$

Étape 3.3.2.6.2

Soustrayez $112$ de $96$ .

$f (- 2) = \frac{- 16}{3}$

Étape 3.3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{16}{3}$

Étape 3.3.2.8

La réponse finale est $- \frac{16}{3}$ .

$- \frac{16}{3}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ est $(- 2, - \frac{16}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - \frac{16}{3})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 2, - \frac{16}{3})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = - 5 {(- 2.1)}^{4} - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2.1) = - 5 \cdot 19.4481 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 \cdot - 9.261 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 \cdot 4.41$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 20$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 88.2$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 97.2405$ et $185.22$ .

$f'' (- 2.1) = 87.9795 - 88.2$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $88.2$ de $87.9795$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.2205$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $- 0.2205$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = - 5 {(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = - 5 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 \cdot - 1 - 20 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 \cdot 1$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 5$ et $20$ .

$f'' (- 1) = 15 - 20$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $20$ de $15$ .

$f'' (- 1) = - 5$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 6.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $- 5$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 0)$

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 \cdot 0.001 - 20 {(0.1)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 {(0.1)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 \cdot 0.01$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 20$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 0.2$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $0.02$ de $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0205 - 0.2$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $0.2$ de $- 0.0205$ .

$f'' (0.1) = - 0.2205$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.2205$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \infty)$

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Aucun point du graphe ne respecte ces exigences.

Aucun point d’inflexion