Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 4 x + 5$ et $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Étape 2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Étape 4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $(4 x + 5) (- e^{- x})$ sur $2$ et sur $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Étape 9.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.2

Additionnez $8$ et $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.6

Additionnez $0$ et $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.11

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 9.3.12

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Étape 10.1.2

Associez $- 13$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Étape 10.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Étape 10.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Étape 10.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Étape 10.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Étape 10.4

Soustrayez $4$ de $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Étape 10.6

Additionnez $5$ et $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Forme décimale :

$6.69930018 \dots$

Étape 12