Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Étape 2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 2.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez $- \frac{1}{3} u_{2}$ sur $e^{- t^{3}}$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Associez $e^{- t^{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 6

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez des fractions en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Étape 6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $- (e^{- t^{3}} - 1)$ comme $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Étape 6.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Étape 6.2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Étape 6.2.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Étape 6.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 6.3

Comme l’exposant $- t^{3}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t^{3}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.4.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 6.4.2.3

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$