Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$ comme ${(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - 2 e^{3 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 7.3

Placez ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 2 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

Étape 9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 15.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 15.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 16

Différenciez.

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Étape 16.1

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 16.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16.3

Associez les fractions.

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Étape 16.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 16.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 16.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$