Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ par $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Étape 8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 15

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Étape 15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Étape 15.3.3

Annulez le facteur commun.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Étape 15.3.4

Réécrivez l’expression.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.5

Associez $- e^{- 2 x} x$ et $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 15.5.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.5.2

Pour écrire $- x e^{- 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.5.3

Associez $- x e^{- 2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

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Étape 15.6.1.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 15.6.1.2

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Étape 15.6.1.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Étape 15.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Étape 15.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Étape 15.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Étape 15.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Étape 15.10

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Étape 15.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Étape 16

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$