Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 15}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $5$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x^{4}$ par $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 35 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ et $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{3}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 105$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 105 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 105 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 105$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 210 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- \frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.6

Associez $\frac{- 15}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $5$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x^{4}$ par $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 35 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 35$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $36 x^{3}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 105 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $- 105 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} (- 12 x)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} (35)$ .

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x^{2} ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, 7, 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 7, 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{3} + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 108 \cdot 0 - 210 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $108$ par $0$ .

$0 + 0 - 210 \cdot 0$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 210$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{4} + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 48 + 36 \cdot - 8 - 105 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $36$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 \cdot 4$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 105$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 420$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $288$ de $- 48$ .

$f' (- 2) = - 336 - 420$

Étape 10.2.2.2.2

Soustrayez $420$ de $- 336$ .

$f' (- 2) = - 756$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 756$ .

$- 756$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 5)$ dans la dérivée première $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{4} + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f' (2) = - 48 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - 48 + 36 \cdot 8 - 105 {(2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $36$ par $8$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 {(2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $- 105$ par $4$ .

$f' (2) = - 48 + 288 - 420$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $- 48$ et $288$ .

$f' (2) = 240 - 420$

Étape 10.3.2.2.2

Soustrayez $420$ de $240$ .

$f' (2) = - 180$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 180$ .

$- 180$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(5, 7)$ dans la dérivée première $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 3 {(6)}^{4} + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f' (6) = - 3 \cdot 1296 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1296$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = - 3888 + 36 \cdot 216 - 105 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $36$ par $216$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 {(6)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 \cdot 36$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $- 105$ par $36$ .

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 3780$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Additionnez $- 3888$ et $7776$ .

$f' (6) = 3888 - 3780$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $3780$ de $3888$ .

$f' (6) = 108$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $108$ .

$108$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée première $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = - 3 {(10)}^{4} + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $4$ .

$f' (10) = - 3 \cdot 10000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $10000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f' (10) = - 30000 + 36 \cdot 1000 - 105 {(10)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $36$ par $1000$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 {(10)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 \cdot 100$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $- 105$ par $100$ .

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 10500$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.2.1

Additionnez $- 30000$ et $36000$ .

$f' (10) = 6000 - 10500$

Étape 10.5.2.2.2

Soustrayez $10500$ de $6000$ .

$f' (10) = - 4500$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $- 4500$ .

$- 4500$

Étape 10.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 5$ , $x = 5$ est un minimum local.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 7$ , $x = 7$ est un maximum local.

$x = 7$ est un maximum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ .

$x = 5$ est un minimum local

$x = 7$ est un maximum local

$x = 5$ est un minimum local

$x = 7$ est un maximum local

Étape 11