Calcul infinitésimal Exemples

\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de

k

$k$ égale à

1

$1$ .

\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Étape 2

Évaluez

\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Étape 2.1

Factorisez

2

$2$ dans l’addition.

(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Étape 2.2

Développez la série pour chaque valeur de

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Étape 2.3

Simplifiez la forme développée.

12

$12$

12

$12$

Étape 3

Évaluez

\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

1

$1$ .

- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.4

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.5

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.6

Multipliez

1

$1$ par

4

$4$ .

- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.7

Additionnez

- 2

$- 2$ et

4

$4$ .

2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.8

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

3

$3$ .

2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.9

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.10

Multipliez

- 1

$- 1$ par

6

$6$ .

2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.11

Soustrayez

6

$6$ de

2

$2$ .

- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.12

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.13

Multipliez

2

$2$ par

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot 8

$- 4 + 1 \cdot 8$

Étape 3.2.14

Multipliez

1

$1$ par

8

$8$ .

- 4 + 8

$- 4 + 8$

Étape 3.2.15

Additionnez

- 4

$- 4$ et

8

$8$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

12 - 4

$12 - 4$

Étape 5

Soustrayez

4

$4$ de

12

$12$ .

8

$8$