Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ dans l’addition.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Étape 2.2

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Étape 2.3

Simplifiez la forme développée.

$12$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.6

Multipliez $1$ par $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.7

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.11

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.12

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 3.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Étape 3.2.14

Multipliez $1$ par $8$ .

$- 4 + 8$

Étape 3.2.15

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$4$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$12 - 4$

Étape 5

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$