Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{k x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{k x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k x$ .

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ .

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$