Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité f(x)=x^(2/3)-4x^(1/3)
Étape 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.2.3
Associez et .
Étape 1.1.1.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.3.4
Associez et .
Étape 1.1.1.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.3.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.6.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.3.8
Associez et .
Étape 1.1.1.3.9
Associez et .
Étape 1.1.1.3.10
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.3.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.4.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.4.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.1.2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.2.5
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.1.2.2.5.2
Associez et .
Étape 1.1.2.2.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.2.7
Associez et .
Étape 1.1.2.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.2.9
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.9.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.2.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.11
Associez et .
Étape 1.1.2.2.12
Associez et .
Étape 1.1.2.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.2.13.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.2.2.13.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.2.13.3
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.2.13.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.2.2.15
Multipliez par .
Étape 1.1.2.2.16
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 1.1.2.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.3.5
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.1.2.3.5.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.5.2.1
Associez et .
Étape 1.1.2.3.5.2.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.3.7
Associez et .
Étape 1.1.2.3.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.3.9
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.9.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.3.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.11
Associez et .
Étape 1.1.2.3.12
Associez et .
Étape 1.1.2.3.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.3.13.1
Déplacez .
Étape 1.1.2.3.13.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.2.3.13.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.3.13.4
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.3.13.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.2.3.15
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.16
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.17
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.18
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.19
Multipliez par .
Étape 1.1.2.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 1.2.2
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 1.2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Étape 1.2.2.3
Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.
1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.
2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.
Étape 1.2.2.4
a des facteurs de et .
Étape 1.2.2.5
Le nombre n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.
Pas premier
Étape 1.2.2.6
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.
Étape 1.2.2.7
Multipliez par .
Étape 1.2.2.8
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.
Étape 1.2.2.9
Le plus petit multiple commun pour est la partie numérique multipliée par la partie variable.
Étape 1.2.3
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.3.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.3.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.4.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.4.4
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.4.5
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.3.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.4.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 1.2.4.3
Simplifiez l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.2.4.3.1.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.3.1.1.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.3.1.1.4
Simplifiez
Étape 1.2.4.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.4
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.4.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.4.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.4.4.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.4.3.1
Divisez par .
Étape 2
Déterminez le domaine de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 2.1.2
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 2.1.3
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 2.2
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 3
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 4
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.4.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.4.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Étape 4.5
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Étape 4.6
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 5.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.2.1
Déplacez .
Étape 5.2.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.3.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.3.2.4
Additionnez et .
Étape 5.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.5
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 7