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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Étape 1.1.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.2.3
Associez et .
Étape 1.1.1.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.2.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.1.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.3.4
Associez et .
Étape 1.1.1.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.3.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.1.1.3.6.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.3.8
Associez et .
Étape 1.1.1.3.9
Associez et .
Étape 1.1.1.3.10
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.3.11
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.4
Simplifiez
Étape 1.1.1.4.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.1.4.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 1.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Évaluez .
Étape 1.1.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.1.2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.2.5
Multipliez les exposants dans .
Étape 1.1.2.2.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.1.2.2.5.2
Associez et .
Étape 1.1.2.2.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.2.7
Associez et .
Étape 1.1.2.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.2.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.1.2.2.9.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.2.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.11
Associez et .
Étape 1.1.2.2.12
Associez et .
Étape 1.1.2.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.1.2.2.13.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.2.2.13.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.2.13.3
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.2.13.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.2.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.2.2.15
Multipliez par .
Étape 1.1.2.2.16
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3
Évaluez .
Étape 1.1.2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 1.1.2.3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.2.3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2.3.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.3.5
Multipliez les exposants dans .
Étape 1.1.2.3.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.1.2.3.5.2
Multipliez .
Étape 1.1.2.3.5.2.1
Associez et .
Étape 1.1.2.3.5.2.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.3.7
Associez et .
Étape 1.1.2.3.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.3.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.1.2.3.9.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.3.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.11
Associez et .
Étape 1.1.2.3.12
Associez et .
Étape 1.1.2.3.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.1.2.3.13.1
Déplacez .
Étape 1.1.2.3.13.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.2.3.13.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.2.3.13.4
Soustrayez de .
Étape 1.1.2.3.13.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.2.3.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.1.2.3.15
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.16
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.17
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.18
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.19
Multipliez par .
Étape 1.1.2.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 1.2.2
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Étape 1.2.2.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 1.2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Étape 1.2.2.3
Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.
1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.
2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.
Étape 1.2.2.4
a des facteurs de et .
Étape 1.2.2.5
Le nombre n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.
Pas premier
Étape 1.2.2.6
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.
Étape 1.2.2.7
Multipliez par .
Étape 1.2.2.8
Le plus petit multiple commun de est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.
Étape 1.2.2.9
Le plus petit multiple commun pour est la partie numérique multipliée par la partie variable.
Étape 1.2.3
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 1.2.3.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.3.2.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.3.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.3.2.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.3.2.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.3.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.3.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.4.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.1.4.4
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.4.5
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.3.3.1
Multipliez .
Étape 1.2.3.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.4
Résolvez l’équation.
Étape 1.2.4.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.4.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 1.2.4.3
Simplifiez l’exposant.
Étape 1.2.4.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.4.3.1.1
Simplifiez .
Étape 1.2.4.3.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.2.4.3.1.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.3.1.1.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 1.2.4.3.1.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.3.1.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.4.3.1.1.4
Simplifiez
Étape 1.2.4.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.4.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.4.4
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.2.4.4.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.4.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.4.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.4.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.4.4.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.4.4.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.4.4.3.1
Divisez par .
Étape 2
Étape 2.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 2.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 2.1.2
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 2.1.3
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 2.2
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 3
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 4.2
Simplifiez l’expression.
Étape 4.2.1
Réécrivez comme .
Étape 4.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.4
Simplifiez l’expression.
Étape 4.4.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.4.2
Multipliez par .
Étape 4.4.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Étape 4.5
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Étape 4.6
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 5.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.2.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.2.3.2.1
Déplacez .
Étape 5.2.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.3.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.3.2.4
Additionnez et .
Étape 5.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.5
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 6
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 7