Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Soustrayez $18 e^{3 x^{2}} x$ de $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ par $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Étape 3.3

Déplacez $18$ à gauche de $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{18}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{18}$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 7.2.2

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 7.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $18$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$