Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Étape 4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 8 x$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Étape 4.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Étape 4.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Étape 4.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Étape 4.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 4.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.5

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $2^{3}$ .

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Étape 4.1.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.7

Annulez le facteur commun de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Étape 4.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.8.1

Annulez le facteur commun de ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Étape 4.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.1.2

Divisez $(A) \cdot (2^{3})$ par $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.3

Déplacez $8$ à gauche de $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.4

Annulez le facteur commun à ${(1 - 4 x)}^{3}$ et ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

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Étape 4.1.8.4.1

Factorisez ${(1 - 4 x)}^{2}$ à partir de $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.4.2.4

Divisez $B (2^{3} (1 - 4 x))$ par $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.10

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.11

Annulez le facteur commun à ${(1 - 4 x)}^{3}$ et $1 - 4 x$ .

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Étape 4.1.8.11.1

Factorisez $1 - 4 x$ à partir de $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Étape 4.1.8.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Étape 4.1.8.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Étape 4.1.8.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Étape 4.1.8.11.2.4

Divisez $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Étape 4.1.8.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Étape 4.1.8.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Étape 4.1.8.14

Réécrivez ${(1 - 4 x)}^{2}$ comme $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Étape 4.1.8.15

Développez $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.8.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Étape 4.1.8.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Étape 4.1.8.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 4.1.8.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.8.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.8.16.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 4.1.8.16.1.2

Multipliez $- 4 x$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Étape 4.1.8.16.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Étape 4.1.8.16.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Étape 4.1.8.16.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.8.16.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Étape 4.1.8.16.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Étape 4.1.8.16.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Étape 4.1.8.16.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Étape 4.1.8.17

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 4.1.8.18

Simplifiez

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Étape 4.1.8.18.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 4.1.8.18.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Étape 4.1.8.18.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Étape 4.1.8.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.8.19.1

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Étape 4.1.8.19.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Étape 4.1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.9.1

Déplacez $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Étape 4.1.9.2

Déplacez $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Étape 4.1.9.3

Déplacez $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Étape 4.1.9.4

Déplacez $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.1.9.5

Déplacez $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.1.9.6

Remettez dans l’ordre $- 32 x B$ et $128 C x^{2}$ .

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 128 C$

Étape 4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 32 B - 64 C$

Étape 4.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.1

Résolvez $C$ dans $0 = 128 C$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $128 C = 0$ .

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.1.2

Divisez chaque terme dans $128 C = 0$ par $128$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $128 C = 0$ par $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $128$ .

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Étape 4.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.1.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.2.3.1

Divisez $0$ par $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = - 32 B - 64 C$ par $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Multipliez $- 64$ par $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.2.2.1.2

Additionnez $- 32 B$ et $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.4.1

Simplifiez $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

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Étape 4.3.2.4.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 4.3.2.4.1.2

Additionnez $8 A + 8 B$ et $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 32 B$ .

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 32 B = 0$ .

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 32 B = 0$ par $- 32$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 32 B = 0$ par $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 32$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 4.3.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Étape 4.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 8 A + 8 B$ par $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Simplifiez $8 A + 8 (0)$ .

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Étape 4.3.4.2.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.4.2.1.2

Additionnez $8 A$ et $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.5

Résolvez $A$ dans $1 = 8 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $8 A = 1$ .

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.5.2

Divisez chaque terme dans $8 A = 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 4.3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $8 A = 1$ par $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.5.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Étape 4.3.6

Résolvez le système d’équations.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Étape 4.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Étape 4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 4.5.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 4.5.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 4.5.4

Divisez $0$ par ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Étape 4.5.5

Divisez $0$ par $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Étape 4.5.6

Supprimez le zéro de l’expression.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{8}$ et $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Étape 7

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 1 - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Étape 7.1.2

Différenciez.

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Étape 7.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 7.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 7.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Étape 8.3

Déplacez $4$ à gauche de $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 11.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 11.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 11.2.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 11.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 11.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Réécrivez $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ comme $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 13.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 13.2.4

Multipliez $\frac{5}{32}$ par $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 13.2.5

Multipliez $\frac{5}{32}$ par $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Étape 13.2.6

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$