Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{3} - x^{2} - 20 x$ , $x + 4$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = x^{3} - x^{2} - 20 x$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (x^{3} - x^{2} - 20 x) + f' (x^{3} - x^{2} - 20 x) (x - x^{3} - x^{2} - 20 x)$

Étape 3

Évaluez $f (x^{3} - x^{2} - 20 x)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $x^{3} - x^{2} - 20 x$ dans l’expression.

$f (x^{3} - x^{2} - 20 x) = (x^{3} - x^{2} - 20 x) + 4$

Étape 3.2

Simplifiez $(x^{3} - x^{2} - 20 x) + 4$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$(x^{3} - x^{2} - 20 x) + 4$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{3} - x^{2} - 20 x + 4$

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = x + 4$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = x^{3} - x^{2} - 20 x + 4 + 1 (x - x^{3} - x^{2} - 20 x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x - x^{3} - x^{2} - 20 x$ par $1$ .

$L (x) = x^{3} - x^{2} - 20 x + 4 + x - x^{3} - x^{2} - 20 x$

Étape 6.1.2

Soustrayez $20 x$ de $x$ .

$L (x) = x^{3} - x^{2} - 20 x + 4 - x^{3} - x^{2} - 19 x$

Étape 6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} - x^{2} - 20 x + 4 - x^{3} - x^{2} - 19 x$ .

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$L (x) = - x^{2} - 20 x + 4 + 0 - x^{2} - 19 x$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- x^{2} - 20 x + 4$ et $0$ .

$L (x) = - x^{2} - 20 x + 4 - x^{2} - 19 x$

Étape 6.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$L (x) = - 2 x^{2} - 20 x + 4 - 19 x$

Étape 6.2.3

Soustrayez $19 x$ de $- 20 x$ .

$L (x) = - 2 x^{2} - 39 x + 4$

Étape 7