Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Étape 4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Étape 5

Complétez le carré.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Développez $(1 - x) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Étape 5.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Étape 5.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Étape 5.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Étape 5.1.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - x^{2}$

Étape 5.1.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Étape 5.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Étape 5.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 5.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 5.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Étape 5.5.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Étape 5.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 1 + 0$

Étape 5.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e = 1$

Étape 5.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Étape 6

Laissez $u = x + 0$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x + 0$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 0$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Étape 6.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Étape 10

Additionnez $x$ et $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$