Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{7} \cos (x^{4}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 2.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ et $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 5.2

Associez $\frac{u_{2}}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u_{2}$ et $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$

Étape 10

Réécrivez $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$ comme $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{2}) + \cos ({u_{1}}^{2})) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({(x^{2})}^{2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2 \cdot 2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Étape 12.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{2 \cdot 2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Étape 12.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Étape 12.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{2 \cdot 2})) + C$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{4})) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4})) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Étape 12.3

Multipliez $\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}))$ .

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Étape 12.3.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{x^{4}}{4}$ et $\sin (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$