Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (x)}$ par $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{x \ln (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x \ln (x)}$ approche de $0$ .

$e^{0}$

Étape 5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$